2023年全国硕士研究生招生考试数学二答案解析-真题星球

2023年全国硕士研究生招生考试数学二答案解析

一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）

10.

二、填空题（本题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上）

11.

-2

12.

暂无

13.

-3/2

14.

暂无

15.

暂无

16.

暂无

三、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.

(1).

( I )曲线 $L$ 在点 $P( x, y)$ 处的切线方程为 $Y- y= y^{\prime }( X- x)$ ,令 $X=0$ , 则切线在 $y$ 轴上的截距为 $Y=y-xy^\prime$ ,则 $x=y-xy^\prime$ ,即 $y^\prime-\frac1xy=-1$ ,解得 $y(x)=x(C-\ln x)$ ,其中 $c$ 为任意常数.

$又$ $y( e^{2}) = 0$ , $则$ $C= 2$ , $故$ $y( x) =$ $x( 2- \ln$ $x)$ .

(2).

$(\Pi)设曲线_{L}在点(x,x(2-\ln x))处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小$ ,
此时切线方程为

$Y-x(2-\ln x)=(1-\ln x)(X-x)\:.$

令 $Y=0$ ，则 $X=\frac{x}{\ln x-1}$ ; 令 $X=0$ ，则 $Y=x$ .

故切线与两坐标轴所围三角形面积为 $S(x)=\frac{1}{2}XY=\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{\ln x-1}\cdot x=\frac{x^2}{2(\ln x-1)}$ ，

则 $S'(x)=\frac{x(2\ln x-3)}{2(\ln x-1)^2}$ . 令 $S'(x)=0$ ，得驻点 $x=e^{\frac{3}{2}}$ .

当 $e$ < $x$ < $e^{\frac{3}{2}}$ 时， $S'(x)$ < $0$ ; 当 $x$ > $e^{\frac{3}{2}}$ 时， $S'(x)$ > $0$ ，故 $S(x)$ 在 $x=e^{\frac{3}{2}}$ 处取得极小值，同时也取最小值，且最小值为 $S(e^{\frac{3}{2}})=e^3$ .

18.

$\left\{ \begin{array}{l} f_{x}^{\prime}=e^{\cos y}+x=0 \\ f_{y}^{\prime}=xe^{\cos y}(-\sin y)=0 \end{array} \right. , 得驻点为: (-e^{-1},k\pi), 其中k为奇数; (-e,k\pi), 其中k为偶数.<br>则$
$\left\{ \begin{array}{l} f_{xx}^{\prime\prime}=1 \\ f_{xy}^{\prime\prime}=e^{\cos y}(-\sin y) \\ f_{yy}^{\prime\prime}=xe^{\cos y}\sin^{2}y+xe^{\cos y}(-\cos y) \end{array} \right.$ $代入 (-e^{-1},k\pi), 其中k为奇数, 得$ $\left\{ \begin{array}{l} A=f_{xx}^{\prime\prime}=1 \\ B=f_{xy}^{\prime\prime}=0 \\ C=f_{yy}^{\prime\prime}=-e^{-2} \end{array} \right.$ , AC-B $^{2}$ <0 $, 故(-e^{-1},k\pi) 不是极值点;<br>代入 (-e,k\pi), 其中k为偶数, 得<br>$
$\left\{ \begin{array}{l} A=f_{xx}^{\prime\prime}=1 \\ B=f_{xy}^{\prime\prime}=0 \\ C=f_{yy}^{\prime\prime}=e^{2} \end{array} \right. , AC-B^{2}$ > $0且A$ > $0, 故(-e,k\pi) 是极小值点, f(-e,k\pi)=-\frac{e^{2}}{2}为极小值.$

19.

(1).

(2).

20.

$\begin{aligned}&\text{【解析】本题目采用极坐标进行计算}\\&\iint_{D}\frac{1}{3x^{2}+y^{2}}d\sigma\\&=\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}d\theta\int_{\sqrt{\frac{1}{1-\sin\theta\cos\theta}}}^{\sqrt{\frac{2}{1-\sin\theta\cos\theta}}}\frac{1}{r^{2}(3\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)}rd\theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}d\theta\int_{\sqrt{\frac{1}{1-\sin\theta\cos\theta}}}^{\sqrt{\frac{2}{1-\sin\theta\cos\theta}}}\frac{1}{(3\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)}\frac{1}{r}d\theta\\&=\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{1}{(3\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)}\cdot\ln r\left|\frac{\sqrt{\frac{2}{1-\sin\theta\cos\theta}}}{\sqrt{\frac{1}{1-\sin\theta\cos\theta}}}\right.d\theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{1}{(3\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)}\cdot\ln\sqrt{2}d\theta\\&=\frac{1}{2}\ln2\cdot\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{1}{(3+\tan^{2}\theta)\cdot\cos^{2}\theta}d\theta=\ln2\cdot\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{1}{(3+\tan^{2}\theta)}d\tan\theta\\&=\frac{1}{2}\ln2\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\frac{\tan\theta}{\sqrt{3}}|_{0}^{\frac{\pi}{3}}=\frac{\pi}{8\sqrt{3}}\ln2.\end{aligned}$

21.

(1).

(2).

22.

(1).

(2).